文章目录
- 一、序列傅里叶变换定义详细分析
- 二、证明单位复指数序列正交完备性
- 三、序列存在傅里叶变换的性质
一、序列傅里叶变换定义详细分析
序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;
x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;
x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :
sum_{n=-infty}^{ infty}|x(n)|< infty连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :
X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) e^{-j omega n}就是
x(n) 的 序列傅里叶变换 SFT ;
omega 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
X(e^{j omega}) 是 实的连续的 变量
omega 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;
X(e^{jomega}) = X_g(e^{jomega}) jX_l(e^{jomega}) = |X(e^{jomega})|e^{jtheta(omega)}|X(e^{jomega})| 模 是其 " 幅频特性 " ,
e^{jtheta(omega)} 相角 是其 " 相频特性 " ,
其中
theta(omega) = arg(X(e^{jomega}))二、证明单位复指数序列正交完备性
证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "
{ e^{-j omega n} }其中
n = 0 , pm 1 , pm2 , cdots证明正交完备性方法
e^{-j omega n} 函数 , 乘以该函数的共轭
(e^{-j omega n})^* , 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :
int_{-pi}^pi e^{-j omega n} (e^{-j omega n}) ^* d omega =begin{cases}2pi & m = n \\ 0 & m not= n end{cases} ①在上述计算结果的前提下 , 推导
x(n) 和
X( e^{j omega } ) 之间的关系 :
X( e^{j omega } ) = sum_{n = -infty}^{ infty}x(n) e^{-j omega n} ②将 ② 式 中 , 在等式两边 都乘以
e^{j omega k} , 然后对
omega 在
-pi ~
pi 之间进行积分得到 :
int_{-pi} ^pi X( e^{j omega } )e^{j omega k} d omega = int_{-pi} ^pi sum_{n = -infty}^{ infty}x(n) e^{-j omega n} e^{j omega k} d omega将 "
sum 求和 " 与 "
int 积分 " 交换位置 ,
int_{-pi} ^pi X( e^{j omega } )e^{j omega k} d omega = sum_{n = -infty}^{ infty}x(n) int_{-pi} ^pi e^{-j omega n} e^{j omega k} d omega根据 ① 式子的推导结果 ,
n = k 时 ,
int_{-pi}^pi e^{-j omega n} (e^{-j omega n}) ^* d omega = 2pi ,
n not= k 时 ,
int_{-pi}^pi e^{-j omega n} (e^{-j omega n}) ^* d omega = 0 ,
int_{-pi} ^pi X( e^{j omega } )e^{j omega k} d omega =begin{cases}2pi x(k) & n=k \\ 0 & n not= k end{cases}将
2pi 除到左边 , 即可得到下面的式子 :
x(n) = cfrac{1}{2pi} int_{-pi} ^pi X( e^{j omega } )e^{j omega k} d omega是
X(e^{j omega}) 的 序列傅里叶反变换 ISFT ;
三、序列存在傅里叶变换的性质
x(n) 序列存在 " 序列傅里叶变换 SFT " 的充分条件是 "
x(n)序列绝对可和 " :
sum_{n=-infty}^{ infty}|x(n)| < infty|X( e^{j omega } )| = sum_{n = -infty}^{ infty}x(n) e^{-j omega n} leq sum_{n=-infty}^{ infty}|x(n)| < infty注意上述是充分条件 ,
x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "
x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数
delta(omega) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
